Dişli Çark Matematik Modeli

İmal edilen dişli çarkın matematik modelini elde etmek için ( , , ) ScXcYcZc, ( , , ) S1X1Y1Z1 ve ( , , ) Sh
XhYhZh koordinat sistemleri tesis edilmelidir. Şekil 3’de görüldüğü üzere, Sc kremayer takımın koordinat sistemi, S1 dişli çarkın koordinat sistemi ve Sh sabit olan referans koordinat sistemidir. Koordinat
sistemleri sağ el kuralına uymaktadır. Yuvarlanma prosesinde kremayer kesici takım p1φ1S = r kadar öteleme hareketi yaparken dişli taslağı φ1 açısı kadar dönmektedir [8]. Sc koordinat sisteminden S1 koordinat sistemine dönüşümü sağlayan koordinat dönüşüm matrisi (10) numaralı ifadede verilmiştir [8].
− + +− + +=0 0 0 10 0 1 0sin cos 0 cos ( )sincos sin 0 sin ( )cos1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 11φ φ φ φ φφ φ φ φ φr r er r eMp pp pc (10) Böylelikle, kremayer takım yüzeylerinin geometrik yeri imal edilen dişli çarkın koordinat sisteminde ifade edilir [8]. [ ] ,( ,...., )1 1M i ac fh ic ciR = R = (11) Dişli Ana Kanunu gereğince kremayer kesicinin alın kesiti ile dişli taslağın yüzeyinin ortak normali ani dönme merkezinden geçmelidir. Bu kanunun matematiksel ifadesi olan Eş Çalışma denklemi Sckoordinat sisteminde (12) numaralı denklem ile ifade edilebilir [8]. izciciciycicicixcicicnZ znY ynX x −=−=− (12) iXc, iYc ve iZc koordinat sistemi Sc’de takım-taslak mekanizmasının ani dönme ekseni I-I üzerindeki bir noktanın koordinatlarını; icx ,icy ve icz kremayer takımın yüzey koordinatlarını; inxc , iyc n ve inzc , yüzey birim normali inc’nin doğrultman kosinüslerini, ifade eder. φ1 yuvarlanma parametresini ve p1r imal edilen dişli çarkın taksimat dairesini gösterir. (10) numaralı denklemde verilen [ ] M1ckoordinat dönüşüm matrisinde e terimi takımın taksimat doğrusunun taslağın taksimat dairesine göre ötelenmesini, diğer bir ifadeyle profil kaydırma miktarını, ifade eder. Kremayer takım ile imal ettiği işlinin eş çalışma denklemi (12) numaralı denklemin düzenlenmesi ile genel olarak aşağıdaki ifade ile elde edilir 8,12].φ = y n − x n r n (13) Takımın aktif kenarları için takım-taslak evolvent yüzeyi eş çalışma denklemi, (5-7) ve (9) numaralıdenklemlerin (13) numaralı denkleme uygulanmasıyla elde edilir [15,16]. ( )( ) sin sin 0( , , ) sin cos1 1 11 1+ + == −p ce e c crf l l bφ ρ β φρ φ φ β (14) ( )( ) sin sin 0( , , ) sin cos1 1 21 2− + == −p cf f c crf l l bφ ρ β φρ φ φ β (15) İmal edilen dişlinin evolvent, trokoid ve diş tabanı yüzeylerinin matematik odeli S1 koordinat sisteminde (1-6) ve (13) numaralı denklemlerin (11) numaralı denklemde yerlerine konulması ile elde edilmektedir. Örnek olarak, kesici takımın eg bölgesinin şekillendirdiği dişli taslağın evolvent yanağının denklemi aşağıda verilmiştir. − −== − +− + −= + −+ + += − −( sin )(( sin )cos sin sin )( sin )sin cossin cos (sin cos )cos sin ( sin )cos cossin sin (cos sin )cos cos ( sin )cos sin1 11 111 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 1p cc c e cc e cegpe c c e cegpe c c e cegrb lz b lry l b lrx l b lφφ β ρ